数を「作って」みよう 近代数学と数概念の自由さについて

どうも、木村(@kimu3_slime)です。 普段は、読み物として大学数学に入門できるサイト『趣味の大学数学』やネット独自の流行を解説するサイト『文脈をつなぐ』を運営しています。

僕は大学で数学を専攻し、大学の数学は自由で面白いものと感じ、それを多くの人が楽しめる形で紹介したいと思うようになりました。「数学は得意じゃなかったけど、興味はある」という方にも味わってもらえたら嬉しいです。

今回は、小中高と学校で馴染みのある「数」たちの作り方(構成)を例に、数という概念の自由さ、数学の考え方やその面白さを紹介します。

木村すらいむ

学生時代は数学を専攻していましたが、現在はサイトの運営で生活してます。ネットと言葉が好きなだけの人。ネット文化を解説するウェブサイト「文脈をつなぐ」、読み物としての数学入門サイト「趣味の大学数学」運営。1992年・群馬生まれ、茨城在住。

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数学でお世話になる基本的な数

数は時代や国を超えて受け継がれてきた

古代ギリシアの数学者ピタゴラスは、「万物は数なり」という考え方を残しました。美しい音程、調和する音に、整数の比が関係することに気づくなどして、数が世界の原理を統べていると考えていたわけです。

時代は過ぎ、世界を説明することの役割は、物理学、そして自然科学、社会科学に移っていきました。しかし、その科学の中でも、数、数式を使った手法(数学)は今なお生き続けています。

数は、人間の国・時代により変わらない部分を支え、さらには生活発展の方法を生み出す基盤という意味で、人類全体が共有する知的な財産と言えるのではないでしょうか。これは言い過ぎかもしれません(笑)。

さて、現代の数学の考え方では、数は自ら定義して構成する対象となっています。数を作るとは、どういうことなのでしょうか? まずは、小中高校で学ぶ数について、おさらいします。

自然数、整数、有理数、実数、複素数

小学校で最初に習う数は、1,2,3などの自然数です。これにお世話にならない人はいないくらい、数の基本中の基本です。自然数同士を足し算掛け算した結果は、また自然数です。

高学年になると、自然数同士の割り算によって、22/7などの分数や小数を学びます。分数のように、2つの自然数の比によって表される数の総称が有理数です。

中学校に入ると、マイナスの数を学びます。自然数同士の引き算、2-4などを考えると、負の数を数の仲間に入れたくなります。自然数に-1,-2,-3などを加えたもの、これが整数です。

x^2=2などの2次方程式を考えたり、三平方の定理(ピタゴラスの定理)を考えると、√2などの分数で表せない数、無理数が登場します。自然数、有理数、整数、無理数、すべてを含む数の総称が、実数です。日常生活の中で目にする数のほとんどは、実数ではないでしょうか。

x^2=-1のように、二乗して負になる実数は存在しません。しかしそのような数を虚数と呼んで数の仲間に加えると、複素数と呼ばれる数になります。

ここまで見てきたところで、自然数に「さらなるルール」を加えることで新しい数が生まれているのがわかるでしょうか。割り算ならば有理数、引き算ならば整数、虚数を認めれば複素数、といったように。(実数はどうやるのでしょうか? 後で解説します)

数の作り方のヒントはここにあります。数を表す記号の集まり(集合)とその記号間のルール(演算)、その組み合わせが数と呼ばれる対象の正体です。そのことを、これから紹介していきましょう。

数の構成について

集合として数を捉える

数たちを統一的に捉えるためには、高校数学で習う、集合の考え方が役立ちます。

集合とは、明確に定義されたもの(要素)の集まりです。例えば、A={1,2,3}は、要素1,2,3を含む集合です。

自然数の集合はN、整数の集合はZ、有理数の集合はQ、実数の集合はR、複素数の集合はCと表されます。

自然数の集合Nの要素を、すべて書きつくすことはできるでしょうか? どんな数にも、その次の数がいくらでもあり、いくらスペースがあっても足りませんね。これら数の集合は、(高校では扱いませんが)すべて無限個の要素を持つ集合(無限集合)となっています。

数だけでなく、ベクトルや行列、関数、ありとあらゆる数学的対象は、大学数学では論理学集合論の言葉を使って表されます。「数を作る」という考え方の土台になっているのは、集合論です。

数を定義することの意味

数を作るということは、数を自ら定義して、足し算や割り算の計算など期待される性質を持っていることを確認(証明)することです。

小中高校の数学では、何かを自ら定義するという考え方に馴染みが薄いかもしれないので、その意味を簡単に紹介します。

数学の議論は、最初に何かを定義し、その定義をもとに、命題や定理と呼ばれる事実が正しいことを証明することの積み重ねです。

逆に言えば、証明されていないことは、何もわかっていないと考えます。常識的に考えて正しそう、と思ったことであっても、その常識が成り立っているのはなぜなのかが説明できなければ、それは証明ではありません。

例えば、自然数を作る途中で、勝手に交換法則a+b=b+aを使ってしまったら、論点先取でおかしいですよね。3分クッキングで、3分以上調理にかかるものを途中で入れてズルするようなものです。

数の構成の議論においては、数の性質は当たり前のものでないという立場から作り上げていることに注意しましょう。そうでないと、「作る」とは言いません(笑)。

もちろん、すべてまっさらな状態から議論するわけではなく、簡単な集合論は仮定します。議論の前提であり、証明せずとも正しいと認める事実の集まりは、公理と呼ばれます。

誰の目にも明らかに感じられる事柄(公理)から数学的事実を論証していく方法は、古くは紀元前、ユークリッドの『原論』に始まり、現代まで読みつがれてきました。現代では、数学の基礎となる論理は数理論理学という分野として扱われ、命題に関する論理は命題論理と呼ばれています。  

自然数の構成 – ペアノの公理

ジュゼッペ・ペアノ

ペアノの公理は、数学者のジュゼッペ・ペアノが『算術の諸原理』1ジュゼッペ・ペアノ『算術の諸原理(Arithmetices principia, nova methodo exposita)』(1889)にて提案した、自然数の構成方法です。

ざっくり言えば、出発点となる記号(0)とその「後継者」を作る規則によって、ドミノ倒し的に自然数を定義します。

「0」という文字を記号とし、Nを0を含む集合とします。そして、次の性質を持つような写像(関数)f:N→Nを考えます。

(N1) fは単射(任意の異なるn,m∈Nに対して、f(n)≠f(m))。 (N2) 0はf(N)(fによるNの像、写像で飛ばした先の集合)には含まれない。 (N3)数学的帰納法の公理:SがNの部分集合で、0∈Sかつf(S)⊆Sならば、S=Nである。

これらにより決まる記号0、集合N、写像fの組(0,N,f)を「自然数の体系」と呼ぶことにします。fは後継者写像と呼ばれます。(このような体系は、ZF公理系における空集合の公理により存在します。)

すると、自然数に対する足し算や掛け算が定義できます。すなわち、写像 和_m:N→N、積_m:N→Nで、次の条件を満たすものが一意に存在することが示せます(証明略)。ここで、mやnはNの要素です。

(A1) 和_m(0)=m
(A2) 和_m(f(n)) = f(和_m(n))
(B1) 積_m(0)=0
(B2) 積_m(f(n)) = 和_m(積_m(n))

足し算とは、和_m(n)のことで、これをm+nと書くことにします。(A1),(A2)を使って「計算」してみましょう。

(1) m+0 = 和_m(0) = m (2) m+f(n) = 和_m(f(n)) = f(和_m(n)) = f(m+n)
です。f(0)、すなわち0の後継者を「1」という記号で表すことにします。(1),(2)を使えば、f(n) = f(n+0) = n+f(0) = n+1です。

つまり、fとは数に1を加える写像です。0から出発すると、1=f(0)と定義できます。さらに、2とは2=f(1)=f(f(0))と定義できます。これが続いていけば、0,1,2,3,…と自然数が続いていくのがわかります。

足し算、掛け算の交換法則、結合法則、分配法則、自然数の大小関係は、ここから導くことができます(証明略)。

0という出発点の記号と、後継者写像fにより、自然数N={0,f(0),f(f(0)),…}を帰納的に構成していく。これがペアノの公理です。

自然数が構成できれば、それを元に、整数や有理数を構成できます。

整数の集合Zは、N×Nにおいて関係(m,n)~(m’,n’)をm+n’ = m’+n により定義したときの、関係~によるN×Nの同値類の集合です。例えば、1-2 = 2-3 となるように、組(1,2)と(2,3)を同一視します。すると、正の整数n=[n,0]で、負の整数は-n=-[n,0]=[0,n]と表現できます。つまり、プラスの方向に使うNとマイナスの方向に使うNを分け、2つの自然数組で1つの整数を表しているわけです。

有理数の集合Qは、Zから同様にして作ることができます。Zから0を除いた集合をZ*とし、Z×Z*において次のような関係~を考えます。すなわち、(a,b)~(a’,b’)とはab’=a’bと。例えば、1/2=2/4であってほしいわけで、このとき1*4=2*2なので、組(1,2)と(2,4)を同一視します。そしてQ:=Z×Z*/~と定義します。分数a/bは同値類[a,b]と対応しているわけです。

まとめると、整数Zや有理数Qは、演算(自然数の引き算、整数の割り算)を定めるために、2組の数に逆算的に関係を定めることによって作られます。これらはすべて、数=要素の集まり(集合)+演算の法則(構造)とまとめられます。

実数の構成 – デデキントの切断

有理数から実数を構成することは、自然数から整数・有理数ほどストレートではありません。加減乗除といった代数的演算だけではないような仕組みが、実数には存在しています。

例えば、無理数√2は、1.4,1.41,1.414,…といくらでも有理数で近似することができますが、その桁をいくら増やそうが、√2そのものを有理数で表すことはできません。

つまり、「実数」側からすると、有理数はぎっしりとつまってはいるのですが(稠密性)、√2という部分では「穴」が空いてしまっているのです。有理数だけでは、実数のように連続ではなく、途切れている部分があります。 

ある数を基準に全体を2つに分けたとき、そこには穴がない。実数はそういう性質を持っているべきである。こうして実数を定めるのが、デデキント切断というアイデアです。

リヒャルト・デデキント

デデキント切断は、数学者リヒャルト・デデキントにより『連続性と無理数』2リヒャルト・デデキント『連続性と無理数(Continuity and Irrational Numbers)』(1858)において提案されました。

有理数の集合Qを、次の条件を満たす2つの部分集合A,Bに分けたものを切断(A,B)と呼びます。

(c1) Q = A∪B
(c2) A≠∅,B≠∅, A∩B=∅
(c3) 任意のa∈A,b∈Bに対し、a≦b

そして、切断(A,B)のことを実数と呼び、切断の集合を実数の集合Rと呼ぶことにします。

例えば、A={x∈Q | x^2 ≦ 2}∪{x∈Q | x<0, x^2 > 2},B={x∈Q | x>0,x^2 > 2}とすると、(A,B)は切断です。有理数においては、AとBの共通部分、すなわちx^2=2となるQは存在していないので。そこで発想を逆転させ、数を2つに分断する部分集合の組は必ずひとつの数(実数)を定める、と定義してしまうのです。今回の切断により、√2:=(A,B)と無理数が定義できます。

切断(A,B)の集合であるRには、x+y:=(A_x+A_y, B_x+B_y)などとすることによって、加減乗除、実数の大小比較(順序)が定められます。 さらに、実数の切断については「連続性の公理」と呼ばれる次の性質が成り立つようになります。これが実数の特徴で、議論の出発点です。

実数の任意の切断(A,B)に対して、次のいずれかが成立。(i)Aには最大数がなく、Bには最小数が存在する。(ii)Aには最大数があり、Bには最小数が存在しない。

実数の定義方法は複数あり、それらは実数の公理、または実数の連続性、完備性と呼ばれています。

1.414…といった「無限に続く小数」として実数を定める方法もあります。無限小数といってはあいまいなので、数列{a_n}でいかにも収束していそうな有理数列(a_nとa_mの差が限りなく小さくなる数列、コーシー列と呼ぶ)を考えます。2つのコーシー列のうち、その差が番号を進めると限りなく小さくなるようなものを同一視してできるQの商集合を、実数Rと定義するのです。

これも切断と同様の発想です。1.4,1.41,1.414,…という数列(コーシー列)は、√2に限りなく近づきますが、Qの要素としては収束しません。逆に、それが収束するような集合としてRを考えれば、√2はそのコーシー列に対応したものとして定義できるわけです。

結果として、次の実数の完備性を持つわけですが、これは連続性の公理と同値であることが示せます。

実数の完備性:Rの任意のコーシー列は収束する

他にも、「有界な集合の上限・下限の存在」「有界で単調増加・減少する数列の収束」「ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理」「ハイネ・ボレルの定理」「アルキメデスの原理+区間縮小法」といった実数の連続性と同等の条件があります。どの定義も同値なので、どれを用いても良いわけです。

(ちなみに、コーシー列という呼び名ですが、それを実数の構成に用いたのはコーシーではなく、カントールのようです3J J O’Connor and E F Robertson『The real numbers: Stevin to Hilbert』(2005)。)

実数から複素数を構成する方法は、比較的簡単です。

2つの実数の組(a,b)で、次のような性質を持つものを「複素数」と呼ぶことにします。つまり、(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)という風に和と積を定めるのです。(a,b)の組をa+biと書き表すことで、確かに複素数の計算が成立しています。

よって、組(a,b)の集合と上の演算規則を合わせて、複素数の集合Cと定めれば良いわけです。組(0,1)が虚数単位iですね。  

数の活躍

いろいろな数の構成方法を紹介してきました。このような数や考え方は、数学においてどのように活躍しているのでしょうか。

数の構造を扱う代数学

数の構成に関する数学の分野は、大きなくくりで言えば代数学です。

自然数、整数、有理数、実数、複素数、どれも記号の集まり(集合)に計算のルール(構造)を合わせたものとして構成されます。

このように、数などに共通する構造を取り出したものは、(ぐん)、(かん)、(たい)などと呼ばれ、それを扱う分野は抽象代数学と呼ばれています。

例えば、2+3iのような虚数も広い意味での「整数」(ガウス整数)として捉えることができ、普通の意味では素数の5が「素因数分解」できたりします(5=(1 + 2i)(1 − 2i))。これは代数学の一分野、代数的整数論と呼ばれるものです。

数をとりまく近代数学史

今回紹介したペアノの公理やデデキント切断は、19世紀になされたものです。この時代は集合論なるものは明確には生まれていませんでした。

19世紀前半には、「五次方程式は”解の公式”によって解けるか?」という問いに対し、「解けない」ことが、夭逝の数学者ガロアによって示されました。 彼の理論をガロア理論・群論としてまとめ、1855年に講義を行ったのが、デデキントです。群論・抽象代数的な発想が、「数を構成する」という方面へ向かっていったのでしょう。

今回は最初から当たり前のものとした集合論は、19世紀後半、カントールによって確立されました。熱伝導方程式の研究に由来する「フーリエ級数の一意的な表示が得られるか?」という問題を通し4Alexander S. Kechris『SET THEORY AND UNIQUENESS FOR TRIGONOMETRIC SERIES』(1997)、実数の性質を調べるうちに、集合論にたどり着いたのです。

ゲオルグ・カントール

また、数をシステムと捉え、それを公理的に扱うアプローチは、新しい幾何学に由来するものもあるでしょう。

ロバチェフスキーやボヤイによって発見された非ユークリッド幾何学は、新たな公理を導入することによって、曲面上の幾何学を生み出すものでした。それはリーマンの『幾何学の基礎をなす仮説について』5ベルンハルト・リーマン『幾何学の基礎をなす仮説について(On the Hypotheses which lie at the Bases of Geometry)』(1868)やヒルベルトの『幾何学基礎論』6ダフィット・ヒルベルト『幾何学基礎論(The Foundations of Geometry)』(1899)などを通じて洗練され、公理的な方法によって、幾何学だけでなく数学全体の基礎を作り直そう、という方向へ向かいました。

ベルンハルト・リーマン

ダフィット・ヒルベルト

数学の基礎づけはより発展し、数を「集合+構造」として扱うスタイルは、数学者集団のブルバキによる『数学原論』7ニコラ・ブルバキ『数学原論(Éléments de mathématique)』を通じて、20世紀の数学全体に大きな影響を与えました。

固有名が多くピンとこないかもしれませんが、数、そのシステムの研究は、19-20世紀の数学に大きな影響を与え、現代数学の基礎となっていると言えるのではないでしょうか。

数学のベースとなる数たち

自然数が数学で用いられているのは当たり前ですが、実数は大学数学の学習においても基本的な対象となっています。

例えば、大学の教養数学として学ぶことになる微分積分学では、最初に極限や微分を習いますが、その基礎としてデデキントの切断などの実数論があります。同じく1学年で学ぶ線形代数学では、実数(や複素数)の組であるベクトル、ベクトルの変換である行列、ベクトルのなす空間の扱いを学びます。

もちろん、これらは統計学や多くの自然科学・社会科学の基礎をなすものです。

今回は、数の構成方法と、その数学史、大学数学との関係を紹介してきました。

デデキントは、「数は人間精神の自由な創造物である」という考えを残しています8足立恒雄『デデキントの数学思想

「自由な」と言っても、自然数や実数は全く恣意的に定義できるわけではありません(既に良く知られた性質を持つものとして構成しなければならない)。ここでの「自由な」というのは、僕たち人間の意思によって数を再構成し、その世界を拡張していける自由さではないでしょうか。

今回紹介した自然数、実数の構成についての教科書としては、松坂『代数系入門9松坂和夫『代数系入門』(1976) や杉浦『解析入門 Ⅰ10杉浦光夫『解析入門 Ⅰ』(1980) 、宮島『微分積分学〈1〉11宮島静雄『微分積分学〈1〉1変数の微分積分』(1980) を参考にしています。

数は無限の要素を持った集合ですが、その「無限」の多さは、有理数と実数では異なる……という話も面白いのですが、紹介しきれませんでした。

集合論の話は面白いので、興味のある方は『趣味の大学数学』の「集合論入門」「無限集合の多さ(濃度)はどのくらい?」を読んでみてください。 木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

Footnotes   [ + ]

1. ジュゼッペ・ペアノ『算術の諸原理(Arithmetices principia, nova methodo exposita)』(1889
2. リヒャルト・デデキント『連続性と無理数(Continuity and Irrational Numbers)』(1858
3. J J O’Connor and E F Robertson『The real numbers: Stevin to Hilbert』(2005)
4. Alexander S. Kechris『SET THEORY AND UNIQUENESS FOR TRIGONOMETRIC SERIES』(1997
5. ベルンハルト・リーマン『幾何学の基礎をなす仮説について(On the Hypotheses which lie at the Bases of Geometry)』(1868
6. ダフィット・ヒルベルト『幾何学基礎論(The Foundations of Geometry)』(1899
7. ニコラ・ブルバキ『数学原論(Éléments de mathématique)』
8. 足立恒雄『デデキントの数学思想
9. 松坂和夫『代数系入門』(1976)
10. 杉浦光夫『解析入門 Ⅰ』(1980)
11. 宮島静雄『微分積分学〈1〉1変数の微分積分』(1980)

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